TRIGONOMETRI LANJUTAN

KONSEP TRIGONOMETRI
Sumber Foto: https://intans777.files.wordpress.com/2014/04/trigonometry.png

Dalam ilmu trigonometri, Sinus (Sin), Cosinus (Cos), Tangen (Tan), Cosecan (Cosec), Secan (Sec), dan Cotangen (Cot) bisa digunakan bersama-sama baik dengan penjumlahan atau pengurangan maupun perkalian. Rumus-rumus penjumlahan, pengurangan atau perkalian dalam trigonometri dapat diturunkan dari rumus jumlah dua sudut atau selisih dua sudut.

Rumus Trigonometri untuk Jumlah Dua Sudut dan Selisih Sudut

$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

$\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

Rumus Trigonometri untuk Sudut Rangkap

Pada rumus sudut rangkap, merupakan modifikasi dari penjumlahan dua sudut dengan $\alpha = \beta$ , sehingga rumusnya menjadi sebagi berikut:

$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ .

Substitusikan $\alpha = \beta$ pada persamaan diatas, sehingga menjadi:

$\sin (\alpha + \alpha) = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha$ .

Karena $\sin \alpha \cos \alpha = \cos \alpha \sin \alpha$ , maka didapat:

Sifat I: $\sin (2 \alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ .

$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ .

Subtitusikan $\alpha = \beta$ pada persamaan diatas, sehingga menjadi:

$\cos (\alpha + \alpha) = \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha$ .

Karena $\cos \alpha \cos \alpha = \cos^2 \alpha$ dan $\sin \alpha \sin \alpha = \sin^2 \alpha$ , maka didapat:

Sifat II: $\cos (2 \alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ .

Karena hasil pada cos sudut rangkap (II) merupakan selisih kuadrat, maka bentuk ini bisa disubtitusi dengan identitas trigonometri:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \rightarrow \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$ .

Subtitusikan $\sin^2 \alpha$ pada persamaan rumus sudut rangkap dari cos (II) menjadi:

$\cos (2 \alpha) = \cos^2 \alpha - (1 - \cos^2 \alpha)$ .

Buka kurung pada persamaan menjadi:

$\cos (2 \alpha) = \cos^2 \alpha - 1 + \cos^2 \alpha)$ .

Jumlah kan kuadrat dari kedua cos akan didapat:

Sifat III: $\cos (2 \alpha) = 2 \cos^2 \alpha - 1$ .

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \rightarrow \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$ .

Subtitusikan $\cos^2 \alpha$ pada persamaan rumus sudut rangkap dari cos (II) menjadi:

$\cos (2 \alpha) = (1 - \sin^2 \alpha) - \sin^2 \alpha$ .

Buka kurung pada persamaan menjadi:

$\cos (2 \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ .

Jumlah kan kuadrat dari kedua cos didapat:

Sifat IV: $\cos (2 \alpha) = (1 - 2 \sin^2 \alpha)$ .

Rumus Trigonometri untuk Perkalian Sinus dan Cosinus

Rumus perkalian dari Sinus dan Cosinus diperoleh dari menjumlahkan dan mengurangi rumus dari sudut rangkap.

Rumus Pertama:

Jumlahkan $\sin (\alpha + \beta)$ dengan $\sin (\alpha - \beta)$ :

Dari perhitungan hasil diatas diperoleh:

$\sin \alpha \cdot \sin \beta = \frac{1}{2} \{ \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) \}$ .

Rumus Kedua:

Kurangkan $\sin (\alpha + \beta)$ dengan $\sin (\alpha - \beta)$ :

Dari perhitungan hasil diatas, diperoleh:

$\cos \alpha \cdot \sin \beta = \frac{1}{2} \{ \sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta) \}$ .

Rumus Ketiga:

Jumlahkan $\cos (\alpha + \beta)$ dengan $\cos (\alpha - \beta)$ :

Dari perhitungan hasil diatas diperoleh:

$\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}\{ \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta) \}$ .

Rumus Keempat:

Kurangkan dengan $\cos (\alpha + \beta)$ dengan $\cos (\alpha - \beta)$ :

Dari perhitungan hasil diatas diperoleh:

$\sin \alpha \cdot \sin \beta = - \frac{1}{2} \{ \cos (\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta) \}$ .

Rumus Trigonometri untuk Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus

Rumus Trigonometri Pada Segitiga

Rumus trigonometri untuk penjumlahan dan pengurangan merupakan modifikasi dari bentuk perkalian Sinus dan Cosinus.

Pada modifikasi ini, kita cukup mensubtitusi $\alpha$ menjadi $\frac{1}{2}(\alpha + \beta)$ dan $\beta$ menjadi $\frac{1}{2}(\alpha - \beta)$ , sehingga diperoleh:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \cdot \sin \frac{1}{2} (\alpha + \beta) \cdot \cos \frac{1}{2} (\alpha - \beta)$

$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cdot \cos \frac{1}{2} (\alpha + \beta) \cdot \sin \frac{1}{2} (\alpha - \beta)$

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cdot \cos \frac{1}{2} (\alpha + \beta) \cdot \cos \frac{1}{2} (\alpha - \beta)$

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \cdot \sin \frac{1}{2} (\alpha + \beta) \cdot \sin \frac{1}{2} (\alpha - \beta)$ .

Aturan Sinus

Setiap segitiga, selalu memiliki tiga sudut dan setiap sudut selalu menghadap pada satu sisi. Dari masing-masing sudut dan sisi yang berhadapan, terdapat perbandingan yang selalu sebanding, yaitu:

$\frac{A}{\sin A}=\frac{B}{\sin B}=\frac{C}{\sin C}$ .

Aturan Sinus ini dapat digunakan dalam perhitungan jika paling sedikit diketahui 2 sisi 1 sudut atau 1 sisi 2 sudut.

Aturan Cosinus

Rumus perbandingan sudut dengan sisi pada segitiga, selain menggunakan Sinu, juga terdapat rumus Cosinus, yaitu:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ .

$b^2 = c^2 + a^2 - 2ac \cos B$ .

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ .

Rumus diatas digunakan untuk menentukan panjang sisi jika diketahui 2 sisi dan 1 sudut yang diapit kedua sisi tersebut.

$(\sin x - \cos x)^2$ Sedangkan untuk menentukan besar sudut jika diketahui 3 sisi segitiga, dapat menggunakan aturan ini juga, dengan mengubah bentuk di atas, misalnya:

$\cos C = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 \cdot b \cdot c}$ .

Contoh Soal

Sederhanakah bentuk persamaan berikut $\frac{1-(\sin x - \cos x)^2}{1 - \cos 2x}$ !

Jawab:

Penjabaran dari bentuk adalah $\sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x$ , dimana $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ sesuai identitas trigonometri, sehingga:

$\sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x = 1 - 2 \sin x \cos x$ .

Untuk bentuk $\cos 2x$ , dengan menggunakan rumus sudut rangkap, diperoleh bentuk $\cos^2 x - \sin^2 x$ , $2 \cos^2 x - 1$ , atau $1 - 2 \sin^2 x$ . Untuk penyelesaian persamaan ini, kita gunakan bentuk $1 - 2 \sin^2 x$ .

Sehingga persamaan menjadi:

$\frac{1 - (1 - 2 \sin x \cos x)}{1 - (1 - 2 \sin^2 x)}$ .

Ketika tanda kurung dihilangkan, menjadi:

$\frac{1 - 1 + 2 \sin x \cos x}{1 - 1 + 2 \sin^2 x} = \frac{2 \sin x \cos x}{2 \sin^2 x}$ .

Bagi pembilang dan penyebut dengan $2 \sin x$ , dan diperoleh bentuk:

$\frac{\cos x}{\sin x}$ atau $\cot x$ .

Sumber:

http://www.studiobelajar.com/rumus-trigonometri/

Pages

Axact Blogger Template

RI 71

TRIGONOMETRI LANJUTAN

Rumus Trigonometri untuk Jumlah Dua Sudut dan Selisih Sudut

Rumus Trigonometri untuk Perkalian Sinus dan Cosinus