SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT

Parabola BENTUK PERSAMAAN KUADRAT
Sumber Foto: http://www.pasar1.com/images/2014/03/26/3130/agen-pasang-parabola-venus-parabola-digital-antena-tv-camera-cctv-1_3.jpg

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Eksplisit

SPLK Eksplisit

Bentuk umum SPLK eksplisit ditulis sebagai berikut: 

dengan a, b, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.

Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLK Eksplisit adalah sebagai berikut:

1. Substitusikan persamaan linear y = ax + b ke persamaan kuadrat y = px² + qx + r, diperoleh
         ax + b = px² + qx + r
     px² + (q - a)x + (r - b) = 0, dengan menggunakan pemfaktoran atau rumus ABC diperoleh nilai-nilai x (jika ada).
2. Nilai-nilai x yang didapat dari langkah (1) disubtitusikan ke persamaan y = ax + b sehingga diperoleh nilai y. Pasangan nilai (x, y) merupakan himpunan penyelesaian SPLK. 

Banyak anggota himpunan penyelesaian pada persamaan kuadrat px² + (q - a)x + (r - b) = 0 dapat ditentukan dengan menggunakan diskriminan yang dinotasikan dengan D, dimana D = b² - 4ac.

Diskriminan dari px² + (q - a)x + (r - b) = 0 adalah D = (q - a)² - 4p(r - b).

Jika D > 0 maka SPLK mempunyai dua anggota himpunan penyelesaian.

Jika D = 0 maka SPLK mempunyai satu anggota himpunan penyelesaian.

Jika D < 0 maka SPLK tidak mempunyai anggota himpunan penyelesaian.

Pasangan nilai (x, y) yang merupakan himpunan penyelesaian SPLK dapat ditafsirkan secara Geometri sebagai koordinat titik potong antara garis y = ax + b dengan parabola y = px² + qx + r.

Kedudukan garis terhadap parabola dapat ditentukan dengan nilai diskriminan D = (q- a)² - 4p(r - b).

Jika D > 0 maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan.

Jika D = 0 maka garis memotong parabola tepat di satu titik atau dikatakan garis menyinggung parabola

Jika D < 0 maka garis tidak memotong maupun menyinggung parabola.

Kedudukan garis terhadap parabola dapat digambarkan sebagai berikut.

pustekkom depdiknas © 2008

Contoh 1:

Tentukan banyak anggota himpunan penyelesaian SPLK di bawah ini.

a. y = x + 7
    y = x² + 4x - 12

Jawab :

   Substitusikan persamaan y = x + 7 ke persamaan y = x² + 4x - 12 diperoleh

                  x + 7 = x² + 4x - 12

    x² + 3x - 19 = 0

                    D = 3² - 4(1)(-19)

                    D = 9 + 76

                    D = 85

                       

   Karena D > 0, jadi SPLK mempunyai 2 anggota himpunan penyelesaian.

                       

b. y = -2x + 5

    y = x² + 6x + 21

    Jawab :

   Substitusikan persamaan y = -2x + 5 ke persamaan y = x² + 6x + 21 diperoleh:
      -2x + 5 = x² + 6x + 21

    x² + 8x + 16 = 0

                     D = 8² - 4(1)( 16)

                     D = 64 - 64

                     D = 0

   
Karena D = 0, jadi SPLK mempunyai 1 anggota himpunan penyelesaian.

c. y = 3x - 4

    y = x² + 6x + 9

    Jawab : 

   Substitusikan persamaan y = 3x - 4 ke persamaan y = x² + 6x + 9 diperoleh

                   3x - 4 = x² + 6x + 9

     x² + 3x + 13 = 0

                      D = 3² - 4(1)( 13)

                      D = 9 - 52

                      D = -43

   Karena D < 0, jadi SPLK tidak mempunyai anggota himpunan penyelesaian.

Contoh 2:

Tentukan himpunan penyelesaian SPLK y = 2x + 8

 y = x² + 4x

Jawab: 

Substitusikan persamaan y = 2x + 8 ke persamaan y = x² + 4x, diperoleh

              2x + 8 = x² + 4x                                 

    x² + 2x - 8 = 0

 (x + 4)(x - 2) = 0

 x = -4 atau x = 2

    x = -4   y = 2(-4) + 8 = 0

    x = 2    y = 2(2) + 8 = 12

Himpunan penyelesaian ={(-4, 0), (2, 12)}

Contoh 3:

Diketahui persamaan garis y = x + 2 dan persamaan parabola y = x² - 2x - 8.

Tentukan: a. koordinat titik potong antara garis dan parabola

                 b. sketsa grafiknya.

Jawab:

a. Substitusikan persamaan garis y = x + 2 ke persamaan parabola y = x² - 2x - 8, diperoleh

                    x + 2 = x² - 2x - 8                            

       x² - 3x - 10 = 0

     (x + 2)(x - 5) = 0

      x = -2 atau x = 5

         x = -2   y = -2 + 2 = 0

         x = 5    y = 5 + 2 = 7     

         Koordinat titik potong antara garis dan parabola adalah (-2, 0) dan (5, 7)

b. Grafik

    y = x + 2

x	0	-2
y	2	0

  
    y = x² - 2x - 8

x	0	-2 atau 4	1
y	-8	0	-9

pustekkom depdiknas © 2008Sumber Foto: http://www.dispendiksidoarjo.net/tutorial/MATEMATIKA/matematika/persamaan_linier/images/hal11.jpg

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit

Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk eksplisit apabila persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y).

Contoh: (1) x = 5y + 20                                    (3) y = x² +2x - 15   

             (2) y = 4x - 8                                       (4) x = y² + 8y +12

Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk implisit apabila persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x,y)

Contoh: (1) x² + y² + 25 = 0                              (3) x² - 6xy + y² + 8y = 0   

             (2) x² + y² - 4x +  6y = 0                      (4) x² + 2xy + y² - 10y + 9 = 0

Bentuk umum SPLK implisit ditulis sebagai berikut:

Dengan a, b, c, d, e, f, p, q, r merupakan bilangan-bilangan real.

A. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit yang Tidak Dapat Difaktorkan

Penyelesaian SPLK implisit yang tidak difaktorkan adalah sebagai berikut.

1. Pada persamaan linear px + qy + r = 0, nyatakan x dalam y atau y dalam x.
2. Substitusikan x atau y dari persamaan linear ke persamaan kuadrat, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.
3. Selesaikan persamaan kuadrat dari langkah (2) sehingga diperoleh nilai x atau y, kemudian substitusikan nilai x atau y ke persamaan linear.

Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian SPLK: 

Jawab:

x + y - 4 = 0  y = -x + 4

Substitusikan y ke persamaan x² + y² - 10 = 0

           x² + (-x + 4)² - 10 = 0

  x² + x² - 8x + 16 - 10 = 0

                 2x² - 8x + 6 = 0

                   x² - 4x + 3 = 0

                (x - 1) (x - 3) = 0

   x = 1 atau x = 3

       x = 1  y = -1 + 4 = 3

       x = 3  y = -3 + 4 = 1

         

Jadi, himpunan penyelesaian = {(1, 3) atau (3, 1)}          

Contoh 2:

Tentukan himpunan penyelesaian SPLK: 

Jawab:

x - y = 5  x = y + 5

Substitusikan x ke persamaan x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0

            (y + 5)² + y² - 2(y + 5) + 4y + 1 = 0

 y² + 10y + 25 + y² - 2y - 10 + 4y + 1 = 0

                                   2y² + 12y + 16 = 0

                                         y² + 6y + 8 = 0

                                     (y + 2) (y + 4) = 0

    y = -2 atau y = -4

        y = -2  x = -2 + 5 = 3

        y = -4  x = -4 + 5 = 1

Jadi, himpunan penyelesaian = {(1, -4), (3, -2)}.

B. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit yang Dapat Difaktorkan

Penyelesaian SPLK implisit yang dapat difaktorkan adalah sebagai berikut.

1. Ubah persamaan ax² + by² + cxy + dx + ey + f = 0 menjadi bentuk (mx + ny)² - s² = 0 selanjutnya diubah menjadi {(mx + ny) + s}{(mx + ny) -s} = 0, sehingga diperoleh
   mx + ny + s = 0 atau mx + ny -s = 0
2. Eliminasikan persamaan px + qy + r = 0 dengan mx + ny + s = 0 dan mx + ny -s = 0 sehingga diperolah nilai x dan y.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian SPLK 

Jawab: 

           x² - 6xy + 9y² - 36 = 0

                 (x - 3y)² - 36 = 0

   (x - 3y + 6)(x - 3y - 6) = 0

   x - 3y + 6 = 0 atau x - 3y - 6 = 0

   x - 3y = -6  atau x - 3y = 6

Eliminasikan x + y = 2 dengan x - 3y = -6  dan x - 3y = 6

   x + y = 2

  x - 3y = -6

       4y = 8             x + 2 = 8

         y = 2                   x = 0

   x + y = 2

  x - 3y = -6

       4y = 8             x + 2 = 8

         y = 2                   x = 0

Jadi, himpunan penyelesaian = {(0, 2), (3, -1)}

Sumber:

http://www.dispendiksidoarjo.net/tutorial/MATEMATIKA/matematika/persamaan_linier/materi01.html

http://www.dispendiksidoarjo.net/tutorial/MATEMATIKA/matematika/persamaan_linier/materi02.html