PERSAMAAN KUADRAT

Parabola
Sumber Foto: https://2.bp.blogspot.com/-BbsvY9N60hM/VyiaqmmwV5I/AAAAAAAAAGY/TjxloYBGgnAd7Bo8bhpd3wBWi4o6FnBTQCLcB/s1600/731957_35463_3476330159340_1671168135_n.jpg

Topik pembahasan kita kali ini adalah persamaan kuadrat, mudah-mudahan penjelasan tentang PERSAMAAN KUADRAT yang Saya sampaikan dapat dipahami dengan baik.

Persamaan Kuadrat merupakan suatu persamaan polinomial berorde 2 dengan bentuk umum dari persamaan kuadrat yaitu y = ax² + bx + c  dengan a ≠ 0 dan  koefisien kuadrat a merupakan koefisien dari x², koefisien linear b merupakan koefisien dari x sedangkan c adalah koefisien konstan atau biasa juga disebut suku bebas. Nilai koefisien a, b dan c ini yang menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

• a menentukan seberapa cekung/cembung, jika nilai a > 0 maka parabola akan terbuka keatas. Begitu juga sebaliknya jika a < 0 maka parabola akan terbuka kebawah.

• b menentukan posisi x puncak parabola atau sumbu simetri dari kurva yang dibentuk, dengan posisi tepatnya -b/2a.

•  c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau pada saat x = 0.

RUMUS ABC

Rumus ini biasa disebut juga dengan rumus kecap, disebut demikian agar lebih familiar didengar dan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat bergantung pada nilai a, b dan c.

 

dengan pembuktian sebagai berikut.

Dari bentuk umum persamaan kuadrat,

bagi kedua ruas untuk mendapatkan  a = 1

Pindahkanke ruas kanan      sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri.  

 

 

  dipindahkan ke ruas kanan maka menjadi     lalu samakan penyebut di ruas kanan. 

Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.

 

Pindahkan     ke ruas kanan menjadi      .

Pada rumus abc diatas terdapat istilah diskriminan atau determinan yaitu notasi dalam tanda akar b² - 4ac yang terkadang dinotasikan dengan huruf D.

Persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki sebuah atau dua buah akar yang berbeda dimana akar-akarnya dapat berupa bilangan riil atau bilangan kompleks. Terdapat 3 kemungkinan kasus :

1. Diskriminan bersifat positif, maka akan terdapat dua akar berbeda dan keduanya riil. Untuk persamaan kuadrat yang koefisiennya berupa bilangan bulat dan diskriminanya adalah kuadrat sempurna maka akar-akarnya adalah bilangan rasional, atau sebaliknya dapat pula merupakan bilangan irasional kuadrat. 
2. Diskriminan bernilai 0 maka akan terdapat eksak satu akar dan riil. Hal ini terkadang disebut sebagi akar ganda, dimana nilainya adalah    .
3. Diskriminan bernilai negatif  maka tidak terdapat akar riil melainkan terdapat 2 buah akar kompleks yang satu sama lain merupakan konjugat kompleks.

          dan    .

Contoh:

1). Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat  x² – 5x + 6 = 0 !

Jawab :
[Gunakan cara memfaktorkan]
<=> ( x – 2 ) ( x – 3 ) = 0
<=> x – 2 = 0 atau x – 3 = 0
<=> x = 2  atau  x = 3
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x² + 2x – 15 = 0 !

Jawab    :
[Gunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna]

x² + 2x = 15
Agar x² + 2x menjadi bentuk kuadrat sempurna maka harus ditambah dengan kuadrat dari setengah koefisien (½ .2)² = 1
Dengan menambahkan 1 pada kedua ruas, diperoleh :
x² + 2x + 1 = 15 + 1
<=>     (x + 1)² = 16
<=>     x + 1 = ± √16
<=>     x + 1 =  ± 4
<=>     x + 1 = 4 atau x + 1 = – 4
<=>     x = 4 – 1 atau x = – 4 – 1
<=>     x = 3  atau  x = -5
Sehingga  himpunan penyelesaiannya adalah {3, -5}

3.  Tentukan  himpunan penyelesaian persamaan x² + 4x – 12 = 0 !

Jawab :
[Gunakan Rumus ABC]
Berdasarkan persamaan diketahui bahwa   a =1,  b = 4, c = –12 selanjutnya koefisien tersebut kita masukkan dalam rumus abc.
x_1,2 = ( – b ± √b² – 4ac) /2a
<=>     x_{1,2 =(}  – 4  ± √42 – 4 . 1. (–12) )/2.1
<=>     x_{1,2 =  (} – 4  ± √16 + 48)/2
<=>     x_{1,2 =  (} – 4  ± √64)/2
<=>     x_{1,2 =  (} – 4  ± 8)/2
<=>     x_{1,2 =  (} – 4  +  8) /2     atau    x_{1,2 =  (} – 4 – 8 )/2
<=>     x₁ = 2  atau    x₂ = – 6
jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2, – 6}